题目内容
已知A（3，0），B（0，3）C（cosα，sinα），O为原点．（1）若
| OC |
| AB |
（2）若
| AC |
| BC |
（3）若|
| OA |
| OC |
| 13 |
| OB |
| OC |
分析：（1）根据条件求出向量
和
的坐标，利用向量共线的坐标表示以及商的关系，，求出tanα的值；
（2）根据条件求出向量
和
的坐标，利用
•
=x1x2+y1y2=0列出方程，再由倍角的正弦公式和平方关系求出sin2α的值；
（3）求出对应向量的坐标，再由|
+
|=
求出α的值，利用向量的数量积运算求出所求向量夹角的余弦值，根据夹角的范围求出角的度数．
| OC |
| AB |
（2）根据条件求出向量
| AC |
| BC |
| a |
| b |
（3）求出对应向量的坐标，再由|
| OA |
| OC |
| 13 |
解答：解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
∴
=（cosα，sinα），
=（-3，3），
∵
∥
，∴3cosα+3sinα=0，解得tanα=-1
（2）由题意得，
=（coaα-3，sinα），
=（coaα，sinα-3），
∵
⊥
，∴coaα（coaα-3）+sinα（sinα-3）=0，
1-3（sinα+coaα）=0，即sinα+coaα=
，
两边平方后得，sin2α=-
，
（3）由题意得，
=（3，0），
=（cosα，sinα），
∴
+
=（coaα+3，sinα），由|
+
|=
得，
（cosα+3）2+sin2α=13，即cosα=
，则α=
，
∴cos＜
，
＞=
=
=
，
则所求的向量的夹角是
．
∴
| OC |
| AB |
∵
| OC |
| AB |
（2）由题意得，
| AC |
| BC |
∵
| AC |
| BC |
1-3（sinα+coaα）=0，即sinα+coaα=
| 1 |
| 3 |
两边平方后得，sin2α=-
| 8 |
| 9 |
（3）由题意得，
| OA |
| OC |
∴
| OA |
| OC |
| OA |
| OC |
| 13 |
（cosα+3）2+sin2α=13，即cosα=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴cos＜
| OB |
| OC |
| ||||
|
|
| 3sinα |
| 3 |
| ||
| 2 |
则所求的向量的夹角是
| π |
| 6 |
点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，两个向量共线的性质，主要利用两个向量坐标形式进行运算求解，注意向量夹角的范围．
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