Question

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；
(1)若

AC

•

BC

=-1，求sin(α+

π

4

)的值；(2)O为坐标原点，若|

OA

-

OC

|=

13

，且α∈(0，π)，求

OB

与

OC

的夹角．

Answer 1

分析：（1）根据已知中A，B，C三点的坐标，我们易求出向量

AC

，

BC

的坐标，根据

AC

•

BC

=-1，我们易得到一个三角方程，解方程即可得到sin（α+

π

4

）的值．
（2）根据向量减法的三角形法则，我们易将|

OA

-

OC

|=

13

转化为|

AC

|=

13

，结合（1）中结论，易构造出关于α的三角方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；
∴

AC

=（cosα-3，sinα）；

BC

=（cosα，sinα-3）；
∴

AC

•

BC

=cos²α+sin²α-3（sinα+cosα）
=1-3（sinα+cosα）=1-3

2

sin（α+

π

4

）=-1
∴sin（α+

π

4

）=

2

3

（2）∵|

OA

-

OC

|=|

CA

|=|

AC

|
=

cos2α+sin2α-6cosα+9

=

10-6cosα

=

13

∴cosα=-

1

2

又∵α∈（0，π）
∴α=

2π

3

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，同角三角函数关系，辅助角公式，三角函数给值求角，其中根据平面向量数量积运算公式，将问题转化为三角函数问题是解答问题的关键．