Question

如图，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB＝90°，PM∥BC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC＝1，BC＝2PM＝2，∠ACB＝90°

(Ⅰ)求证：AC⊥BM；

(Ⅱ)求二面角M－AB－C的正切值；

(Ⅲ)求多面体P－MABC的体积．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵平面平面，，平面． 　　∴平面　　(2分) 　　又∵平面 　　∴　　(4分) 　　(Ⅱ)取的中点，则．连接、． 　　∵平面平面，平面平面，． 　　∴平面． 　　∵，∴，从而平面． 　　作于，连结，则由三垂线定理知． 　　从而为二面角的平面角．　　(6分) 　　∵直线与直线所成的角为60°， 　　∴． 　　在中，由勾股定理得． 　　在中，． 　　在中，． 　　在中， 　　故二面角的大小为　　(8分) 　　(Ⅱ)如图以为原点建立空间直角坐标系． 　　　　　设，有，，． 　　， 　　由直线与直线所成的角为60°，得 　　 　　即，解得． 　　∴， 　　设平面的一个法向量为，则 　　由，取，得 　　取平面的一个法向量为 　　则 　　由图知二面角为锐二面角， 　　故二面角的大小为． 　　(Ⅲ)多面体就是四棱锥 　　　　(12分)