Question

（本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=，点E、F分别为棱AB、PD的中点．

（1）求证：AF∥平面PCE；

（2）求证：平面PCE⊥平面PCD．

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

试题分析：解:（1）取PC的中点G，连结FG、EG

∴FG为△CDP的中位线 ∴FGCD

∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点

∴ABCD ∴FGAE ∴四边形AEGF是平行四边形 ∴AF∥EG

又EG平面PCE，AF平面PCE ∴AF∥平面PCE． 4分

（2）∵ PA⊥底面ABCD

∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD=A

∴CD⊥平面ADP 又AF平面ADP ∴CD⊥AF 8分

直角三角形PAD中，∠PDA=45°

∴△PAD为等腰直角三角形 ∴PA＝AD=2

∵F是PD的中点 ∴AF⊥PD，又CD∩PD=D∴AF⊥平面PCD

∵AF∥EG ∴EG⊥平面PCD 又EG平面PCE

平面PCE⊥平面PCD 12分

考点：本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定