Question

（2012•河南模拟）已知等比数列{a_n}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，数列{bn}满足bn=

1

an

．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）由题意，设首项为a₁，公比为q，利用条件，建立方程组求出基本量，从而可得数列的通项；
（Ⅱ）nb_n=

n

2n-1

，利用错位相减法，可求数列的和．

解答：解：（I）由题意，设首项为a₁，公比为q，则

a12q5=32 a1q2+a1q3=12

，∴

a1=1 q=2

或

a1=32 q= 1 2

∵等比数列{a_n}是递增数列，∴

a1=1 q=2

，∴an=2n-1
∴b_n=

1

2n-1

；
（Ⅱ）∵b_n=

1

2n-1

，∴nb_n=

n

2n-1

∴S_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

①
∴

1

2

S_n=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

②
①-②得

1

2

S_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

∴S_n=4-

n+2

2n-1

．

点评：本题考查数列的通项与求和，正确运用数列的求和方法是关键．