Question

7．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：

x	x1	$\frac{1}{3}$	x2	$\frac{7}{3}$	x3
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）+B	0	$\sqrt{3}$	0	-$\sqrt{3}$	0

（Ⅰ）请求出表中的x₁，x₂，x₃的值，并写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移$\frac{2}{3}$个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，m]（3＜m＜4）上的图象的最高点和最低点分别为M，N，求向量$\overrightarrow{NM}$与$\overrightarrow{ON}$夹角θ的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件知，$\frac{1}{3}ω+ϕ=\frac{π}{2}$，$\frac{7}{3}ω+ϕ=\frac{3π}{2}$，从而解得ω，φ，即可解得表中的x₁，x₂，x₃的值及函数f（x）的解析式
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）解析式，由题意可求最高点为$M（{1，\sqrt{3}}）$，最低点为$N（{3，-\sqrt{3}}）$，解得$\overrightarrow{ON}=（{3，-\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{NM}=（{-2，2\sqrt{3}}）$，由向量的夹角公式结合角的范围即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由条件知，$\frac{1}{3}ω+ϕ=\frac{π}{2}$，$\frac{7}{3}ω+ϕ=\frac{3π}{2}$，
∴$ω=\frac{π}{2}$，$ϕ=\frac{π}{3}$，
∴${x_1}=-\frac{2}{3}，{x_2}=\frac{4}{3}，{x_3}=\frac{10}{3}$，$f（x）=\sqrt{3}sin（\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}）$．
（Ⅱ）∵函数f（x）的图象向右平移$\frac{2}{3}$个单位得到函数g（x）的图象，
∴$g（x）=\sqrt{3}sin[\frac{π}{2}（x-\frac{2}{3}）+\frac{π}{3}]=\sqrt{3}sin\frac{π}{2}x$，
∵函数g（x）在区间[0，m]（m∈（3，4））上的图象的最高点和最低点分别为M，N，
∴最高点为$M（{1，\sqrt{3}}）$，最低点为$N（{3，-\sqrt{3}}）$，∴$\overrightarrow{ON}=（{3，-\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{NM}=（{-2，2\sqrt{3}}）$，
∴$cosθ=\frac{{\overrightarrow{ON}•\overrightarrow{NM}}}{{|{\overrightarrow{ON}}|•|{\overrightarrow{NM}}|}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又0≤θ≤π，∴$θ=\frac{5π}{6}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，向量夹角公式的应用，属于基本知识的考查．