Question

17．如果对于函数f（x）定义域内任意的两个自变量的值x₁，x₂，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），且存在两个不相等的自变量值y₁，y₂，使得f（y₁）=f（y₂），就称f（x）为定义域上的不严格的增函数．
则 ①$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x，x≥1\\ 0，-1＜x＜1\\ x，x≤-1\end{array}\right.$，②$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，\;x=-\frac{π}{2}\\ sinx，-\frac{π}{2}＜x≤\frac{π}{2}\end{array}\right.$，
③$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x≥1\\ 0，-1＜x＜1\\-1，x≤-1\end{array}\right.$，④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x，\;x≥1\\ x+1，x＜1\end{array}\right.$，
四个函数中为不严格增函数的是①③，若已知函数g（x）的定义域、值域分别为A、B，A={1，2，3}，B⊆A，且g（x）为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的g（x）有9个．

Answer 1

分析 由已知中不严格的增函数的定义，逐一分析给定的四个函数，是否满足定义，可得结论；再根据不严格的增函数的定义，逐一列举出满足条件的函数g（x），可得答案．

解答 解：由已知中：函数f（x）定义域内任意的两个自变量的值x₁，x₂，
当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），
且存在两个不相等的自变量值y₁，y₂，使得f（y₁）=f（y₂），
就称f（x）为定义域上的不严格的增函数．
①$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x，x≥1\\ 0，-1＜x＜1\\ x，x≤-1\end{array}\right.$，满足条件，为定义在R上的不严格的增函数；
②$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，\;x=-\frac{π}{2}\\ sinx，-\frac{π}{2}＜x≤\frac{π}{2}\end{array}\right.$，当x₁=-$\frac{π}{2}$，x₂∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），f（x₁）＞f（x₂），故不是不严格的增函数；
③$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x≥1\\ 0，-1＜x＜1\\-1，x≤-1\end{array}\right.$，满足条件，为定义在R上的不严格的增函数；
④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x，\;x≥1\\ x+1，x＜1\end{array}\right.$，当x₁=$\frac{1}{2}$，x₂∈（1，$\frac{3}{2}$），f（x₁）＞f（x₂），故不是不严格的增函数；
故已知的四个函数中为不严格增函数的是①③；
∵函数g（x）的定义域、值域分别为A、B，A={1，2，3}，B⊆A，且g（x）为定义域A上的不严格的增函数，
则满足条件的函数g（x）有：
g（1）=g（2）=g（3）=1，
g（1）=g（2）=g（3）=2，
g（1）=g（2）=g（3）=3，
g（1）=g（2）=1，g（3）=2，
g（1）=g（2）=1，g（3）=3，
g（1）=g（2）=2，g（3）=3，
g（1）=1，g（2）=g（3）=2，
g（1）=1，g（2）=g（3）=3，
g（1）=2，g（2）=g（3）=3，
故这样的函数共有9个，
故答案为：①③；9．

点评 本题考查函数单调性的性质，求解本题的关键是正确理解所给的定义，结合函数定义中对应的思想，对可能的函数进行列举，得出可能函数的种数，本题比较抽象，解题时要注意对其情况分类讨论，不重不漏，本题易因为分类不清，或者考虑情况不严密出错，属于基础题．