题目内容
在正三棱锥P-ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值．
分析：由题意，由于图形中已经出现了垂直于底面的高线，所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．
解答：解：以O为坐标原点，OA为x轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．因△ABC是正三角形，故y轴平行于BC，而PO=AB=2，则
P（0，0，2），A（
，0，0），
B（-
，1，0），C（-
，-1，0），
D是PA的中点，故D（
，0，1）
=（0，-2，0），
=（
，-1，1）（2分）
设
=（x，y，z）是平面BDC的一个法向量，
•
=0且
•
=0，
即：
，化简得：
（5分）
取x=
，则y=0，z=-2，
平面BDC的一个法向量是
=（
，0，-2），
=（-
，1，-2）
cos＜
，
＞=
=
（9分）
由于
和
所成的角与PB与平面BDC所成角互余，所以PB与平面BDC所成角的正弦值为
．（10分）
P（0，0，2），A（
2
| ||
| 3 |
B（-
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
D是PA的中点，故D（
| ||
| 3 |
| BC |
| BD |
2
| ||
| 3 |
设
| n |
| n |
| BC |
| n |
| BD |
即：
|
|
取x=
| 3 |
平面BDC的一个法向量是
. |
| n0 |
| 3 |
| PB |
| ||
| 3 |
cos＜
| PB |
| n0 |
| -1+0+4 | ||||||
|
3
| ||
| 28 |
由于
| PB |
| n0 |
3
| ||
| 28 |
点评：本题主要考查了直线与平面之间所成角，考查空间想象能力，本题考点是立体几何中求线面角，这是立体几何中常考的一个题型，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
如图，在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，底面边长为2，则此三棱锥的体积是（ ）A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|