Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）．

Answer 1

分析 （1）根据函数成立的条件即可求f（x）的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断并证明f（x）的奇偶性；
（3）根据等式关系进行证明f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）．

解答 解：（1）∵1+x²≥1恒成立，∴f（x）的定义域为（-∞，+∞）；
（2）∵f（-x）=$\frac{1-（-x）^{2}}{1+（-x）^{2}}$=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=f（x），
∴f（x）为偶函数；
（3）∵f（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
∴f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1-（\frac{1}{x}）^{2}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$=-$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=-f（x）．
即f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）成立．

点评 本题主要考查函数定义域以及函数奇偶性的判断，比较基础．