Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，，，且M是BD的中点．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角D-AF-B的大小；
（Ⅲ）在线段EB上是否存在一点P，使得CP与AF所成的角为30°？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AD的中点N，连接MN，NF．

在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，所以，
又因为，
所以MN∥EF且MN=EF．
所以四边形MNFE为平行四边形，
所以EM∥FN．
又因为FN?平面ADF，EM?平面ADF，
故EM∥平面ADF．…（4分）
解法二：因为EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系B-xyz．…（1分）
由已知可得 B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），
（Ⅰ），．…（2分）
设平面ADF的一个法向量是=（x，y，z）．
由得
令y=3，则．…（3分）
又因为，
所以，又EM?平面ADF，所以EM∥平面ADF．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知平面ADF的一个法向量是．
因为EB⊥平面ABD，所以EB⊥BD．
又因为AB⊥BD，所以BD⊥平面EBAF．
故是平面EBAF的一个法向量．
所以，又二面角D-AF-B为锐角，
故二面角D-AF-B的大小为60°．…（10分）
（Ⅲ）解：假设在线段EB上存在一点P，使得CP与AF所成的角为30°．
不妨设P（0，0，t）（），则．
所以，
由题意得，化简得，
解得．
所以在线段EB上不存在点P，使得CP与AF所成的角为30°．…（14分）
分析：（Ⅰ）证明EM∥平面ADF，利用线面平行的判定，证明EN平行于平面ADF中两条相交直线即可；也可建立如空间直角坐标系，求出平面ADF的一个法向量，证明；
（Ⅱ）平面ADF的一个法向量是，是平面EBAF的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D-AF-B的大小；
（Ⅲ）假设在线段EB上存在一点P，使得CP与AF所成的角为30°，不妨设P（0，0，t）（），则，利用向量的夹角公式，求出t的值，即可得到结论．
点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量，利用向量的夹角公式是关键