Question

【题目】已知椭圆的离心率，焦距为2，直线与椭圆交于，两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线过椭圆的右焦点，且，求直线方程；

（3）设为坐标原点，直线，的斜率分别为，，若，求面积的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据椭圆的离心率和焦距确定基本量，从而得到椭圆的方程；

（2）设出直线的待定系数方程，与椭圆方程联立，根据线段长度关系得到点的纵坐标的关系求解；

（3）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得到三角形的面积的表达式，化简得到结论，注意对直线的斜率情况分类讨论.

解：（1）设椭圆的焦距为，则由，

则.

（2）若直线斜率为，

则，不合题意，

所以斜率不为，设其方程为，

联立，

设，，

则，，

又

，

故直线.

（3）当直线的斜率为0时，则，不妨设，

由，得，

直线方程与椭圆方程联立，

，整理得，

所以坐标分别为，或，，

此时；

当直线的斜率不为0时，设直线，

联立，

则，，

∵，

又，

∴，

化简得，

从而，

∴.

综上，的面积.