Question

5．已知圆C的圆心为原点O，且与直线$x+y+4\sqrt{3}=0$相切．
（1）求圆C的方程；
（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA、PB，切点为A、B，试问，直线AB是否过定点，若过定点，请求出；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由圆C与直线相切，得到圆心到直线的距离d=r，故利用点到直线的距离公式求出d的值，即为圆C的半径，又圆心为原点，写出圆C的方程即可；
（2）由PA，PB为圆O的两条切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与PB垂直，根据90°圆周角所对的弦为直径可得A，B在以OP为直径的圆上，设出P的坐标为（8，b），由P和O的坐标，利用线段中点坐标公式求出OP中点坐标，即为以OP为直径的圆的圆心坐标，利用两点间的距离公式求出OP的长，即为半径，写出以OP为直径的圆方程，整理后，由AB为两圆的公共弦，两圆方程相减消去平方项，得到弦AB所在直线的方程，可得出此直线方程过（3，0），得证．

解答 解：（1）依题意得：圆心（0，0）到直线$x+y+4\sqrt{3}=0$的距离d=r，
∴r=d=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{6}$，---（2分）
∴圆C的方程为x²+y²=24①；-----（4分）
（2）连接OA，OB，
∵PA，PB是圆C的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，------（5分）
∴A，B在以OP为直径的圆上，-------（6分）
设点P的坐标为（8，b），b∈R，
则线段OP的中点坐标为（4，$\frac{b}{2}$），------（8分）
∴以OP为直径的圆方程为（x-4）+（y-$\frac{b}{2}$）²=16+$\frac{{b}^{2}}{4}$，②-----（10分）
∵AB为两圆的公共弦，
∴①-②得：直线AB的方程为8x+by=24，b∈R，即8（x-3）+by=0，------（13分）
则直线AB恒过定点（3，0）．-------（14分）

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，切线的性质，圆周角定理，线段中点坐标公式，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两圆公共弦的性质，以及恒过定点的直线方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=r，熟练掌握此性质是解本题第一问的关键．