Question

焦点分别为F₁，F₂的椭圆过点M（2，1），抛物线的准线过椭圆C的左焦点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）不过M的动直线l交椭圆C于A、B两点，若•=0，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：

直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

专题：

压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

（Ⅰ）由抛物线方程写出其准线方程，从而求出椭圆焦点坐标，把点M的坐标代入椭圆方程后，结合a²=b²+c²可求椭圆方程；

（Ⅱ）分直线l垂直于坐标轴和不垂直坐标轴两种情况进行讨论，直线垂直坐标轴时，把直线方程代入椭圆方程求出A，B的坐标，由•=0解出m的值，直线不垂直坐标轴时，设出直线方程的斜截式，和椭圆方程联立后由判别式大于0得到直线斜率和在y轴上的截距满足的关系式，再由•=0把直线的截距用斜率表示，代回直线方程后由线系方程可得直线恒过定点．

解答：

（Ⅰ）解：由2p=，∴p=，∴抛物线的准线方程为．

故，，

∴椭圆方程可化为，又椭圆过点M（2，1），

∴，则a⁴﹣8a²+12=0，

∵a²＞3，解得：a²=6．

∴所求椭圆的方程为．

（Ⅱ）证明：①若直线l⊥x轴，直线l可设为x=m（m≠2），则直线l与椭圆交于

，，

由，得，

即3m²﹣8m+4=0．

解得：m=2（舍）或，

故直线l的方程为．

②若直线l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=kx+n．

直线l与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

由⇒（1+2k²）x²+4knx+2n²﹣6=0．

由△＞0，得：（4kn）²﹣4（1+2k²）（2n²﹣6）＞0，即6k²﹣n²+3＞0．

由根与系数关系得：，．

由得：（x₁﹣2）（x₂﹣2）+（y₁﹣1）（y₂﹣1）=0，

即x₁x₂﹣2（x₁+x₂）+y₁y₂﹣（y₁+y₂）+5=0，

又y₁=kx₁+n，y₂=kx₂+n，

故，

即．

∴4k²+8kn+（3n+1）（n﹣1）=0，即（2k+3n+1）（2k+n﹣1）=0．

∴或n=﹣2k+1．

而或n=﹣2k+1满足△＞0．

∴直线l为或y=kx﹣2k+1=k（x﹣2）+1．

由于直线l不过M，∴直线y=kx﹣2k+1=k（x﹣2）+1不合题意．

∴直线l为．

综合①②，直线l为为或．

故直线l恒过定点．

点评：

本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了分类讨论的数学思想，证明直线l恒过定点时，综合考查了向量知识、直线系方程及学生的运算能力，此题属难题．