已知一条封闭的曲线C由一段圆弧C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=2sint}\end{array}\right.$t∈[-$\frac{π}{3}$.$\frac{π}{3}$]和一段抛物线弧C2:y2=2组成．(1)求曲线C的极坐标方程,(X轴的正半轴为极轴.原点为极点)(2)若过原点的直线1与曲线C交于A.B两点.l的倾斜� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．已知一条封闭的曲线C由一段圆弧C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=2sint}\end{array}\right.$t∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]和一段抛物线弧C₂：y²=2（x+$\frac{1}{2}$）（x＜1）组成．
（1）求曲线C的极坐标方程；（X轴的正半轴为极轴，原点为极点）
（2）若过原点的直线1与曲线C交于A、B两点，l的倾斜角α∈[0，$\frac{π}{3}$]，求|AB|的取值范围．

分析（1）首先，将所给参数方程化为普通方程，然后，化为极坐标方程，对抛物线方程直接化为极坐标方程即可；
（2）对θ的取值情况进行讨论，从而确定|AB|的取值范围．

解答解：（1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=2sint}\end{array}\right.$，得
x²+y²=4，
∵t∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∴x∈[-1，1]，y∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，
此时对应的极坐标方程为ρ=2，θ∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∵抛物线弧C₂：y²=2（x+$\frac{1}{2}$）（x＜1）组成．
此时对应的极坐标方程为ρ=$\frac{1}{1-cosθ}$，θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
∴ρ=$\left\{\begin{array}{l}{2，θ∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]}\\{\frac{1}{1-cosθ}，θ∈（\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}）}\end{array}\right.$；
（2）结合（1）知，|AB|=ρ_θ+ρ_β+π，根据图形，得
当θ∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]时，θ+π∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，此时，
|AB|=ρ_θ+ρ_β+π
=2+$\frac{1}{1-cos（θ+π）}$
=2+$\frac{1}{1+cosθ}$，
∴|AB|∈[$\frac{5}{2}$，$\frac{8}{3}$]，
当θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）时，θ+π∈（$\frac{4π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），此时，
|AB|=ρ_θ+ρ_β+π
=$\frac{1}{1-cosθ}$+$\frac{1}{1-cos（θ+π）}$
=$\frac{1}{1-cosθ}$+$\frac{1}{1+cosθ}$，
=$\frac{2}{1-co{s}^{2}θ}$，
∵θ∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$）时，由图形对称性，知
范围与上述一致，综上，得
|AB|∈[2，$\frac{8}{3}$]．