Question

如图平面SAC⊥平面ACB，△SAC是边长为4的等边三角形，△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，BC=4

2

，求二面角S-AB-C的余弦值．

Answer 1

过S点作SD⊥AC于D，过D作DM⊥AB于M，连接SM，则


∵平面SAC⊥平面ACB
∴SD⊥平面ACB
∴SM⊥AB
又∵DM⊥AB
∴∠DMS为二面角S-AB-C的平面角
在△SAC中SD=4×

3

2

=2

3

在△ACB中过C作CH⊥AB于H


∵AC=4，BC=4

2

∴AB=4

3

∵S=

1

2

AB•CH=

1

2

AC•BC
∴CH=

AC•BC

AB

=

4•4 2

4 3

=

4 2

3

∵DM∥CH且AD=DC
∴DM=

1

2

CH=

2 2

3

∵SD⊥平面ACB，DM?平面ACB
∴SD⊥DM
在RT△SDM中，SM=

SD2+DM2

=

(2 3 )2+( 2 2 3 )2

=2

11 3

，
∴cos∠DNS=

DM

SM

=

22

11

．