Question

已知一列椭圆cn：x2+

y2

b 2 n

=1，0＜bn＜1．n=1，2…．若椭圆C_n上有一点P_n，使P_n到右准线l_n的距离d_n是{p_nF_n}与{P_nG_n}的等差中项，其中F_n、G_n分别是C_n的左、右焦点．
（I）试证：bn≤

3

2

（n≥1）；
（II）取bn=

2n+3

n+2

，并用S_n表示△P_nF_nG_n的面积，试证：S₁＜S₂且S_n＞S_n+1（n≥3）．

Answer 1

分析：（I）由题设及椭圆的几何性质有2d_n={P_nF_n}+{P_nG_n}=2，故d_n=4．设Gn=

1-b2

，则右准线方程为ln2x=

1

Gn

．由题设条件能推出

1

2

≤Gn＜1．即

1

2

≤

1- b 2 n

＜1．从而证出对任意n≥1．bn≤

3

2

（II）设点P的坐标为（x_n，y_n），由题设条件能够推出{F_nG_n}=2G_n，△P_nF_nG_n的面积为S_n=G_n{y₄}，由此入手能够证出S₁＜S₂，且S_n＞S_n+1（n≥3）．

解答：证明：（I）由题设及椭圆的几何性质有：
2d_n={P_nF_n}+{P_nG_n}=2，故d_n=1．
设Gn=

1-b2

，则右准线方程为x=

1

Gn

．
因此，由题意d_n应满足

1

Gn

-1≤dn≤

1

Gn

+1．
即

1 G n -1≤1 0＜Gn＜1

，解之得：

1

2

≤Gn＜1．
即

1

2

≤

1- b 2 n

＜1．从而对任意n≥1．bn≤

3

2

．

（II）设点P的坐标为（x_n，y_n），则由d_n=1及椭圆方程易知xn=

1

Gn

-1，

y

2 n

=

b

2 n

(1-

x

2 n

)=(1-

G

2 n

)(1-(

1

Gn

-1)2)
=

1

G 2 n

(-2

G

2 n

+

G

2 n

+2Gn-1)．因{F_nG_n}=2G_n，
故△P_nF_nG_n的面积为S_n=G_n{y₄}，
从而

S

2 n

=-2

G

3 n

+

G

3 n

+2Gn-1(

1

2

＜Gn＜1)．
令f（c）=-2c³+c²+2c-1．由f′（c）=-6c²+2c+2=0．
得两根

1± 13

6

．从而易知函数f（c）在(

1

2

，

1+ 13

6

)内是增函数．
而在(

1+ 13

6

，1)内是减函数．
现在由题设取bn=

2n+3

n+2

，
则Cn=

1- b 2 n

=

n+1

n+2

=1-

1

n+2

，Cn是增数列．
又易知C2=

3

4

＜

1+ 13

6

＜

4

5

=C3．
故由前已证，知S₁＜S₂，且S_n＞S_n+1（n≥3）

点评：本题综合考查椭圆、数列和不等式的知识，难度较大，解题时要综合考虑，恰当地选取公式．