Question

如图，几何体ABC一EFD是由直三棱柱截得的，EF∥AB，∠ABC=90°，AC=2AB=2，CD=2AE=

6

（1）求三棱锥D-BEC的体积；   
（2）求证：CE⊥DB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解：由题意可证，EF⊥平面BCD，再由VD-BCE=VE-BCD=

1

3

•S△BCD•EF，运算求得结果．
（Ⅱ）先利用线面垂直的性质证明EF⊥BD，再证Rt△BCF∽Rt△CDB，从而得到CF⊥BD，再由直线和平面垂直的判定定理证明BD⊥平面CEF，可得BD⊥CE．

解答：（Ⅰ）解：由题意可证，EF⊥平面BCD，
VD-BCE=VE-BCD=

1

3

•S△BCD•EF=

1

3

×

1

2

×

3

×

6

×1=

2

2

．
（Ⅱ）证明：连接CF，依题意可得：AB⊥BF，AB⊥BC，而BF和BC是平面BFD内的两条相交直线，
故有AB⊥平面BFD．
而BD在平面BFD内，故AB⊥BD．
再由EF∥AB可得EF⊥BD．
又在Rt△BCF和Rt△CDB中，
∵

BF

BC

=

6 2

3

=

2

2

，

BC

CD

=

3

6

=

2

2

，∴

BF

BC

=

BC

CD

，∴Rt△BCF∽Rt△CDB，
∴∠BDC=∠BCF，∴∠BDC+∠DCF=∠BCF+DCF=90°，∴CF⊥BD．
综上可得，BD垂直于平面CEF内的两条相交直线，故有BD⊥平面CEF．
又CE?平面CEF，所以BD⊥CE．

点评：本题主要考查求棱锥的体积的方法，直线和平面垂直的判定定理与性质定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．