Question

（2012•成都一模）如图1，△ABC是边长为6的等边三角形，

CD

=

1

3

CA

，

BE

=

1

3

BA

，点G为BC边的中点，线段AG交线段ED于点F．将△AED沿ED翻折，使平面AED丄平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图2的几何体．
（I）求证：BC丄平面AFG
（II）求二面角B-AE-D的大小．

Answer 1

分析：（I）根据平面几何平行线的判定，可得DE∥BC，得△ADE是边长等于4的等边三角形．线段AG是等边△ABC的高，翻折后得到折线AF和FG，可得AF⊥DE且FG⊥DE，从而DE⊥平面AFG，结合DE∥BC，可得BC丄平面AFG；
（II）分别以FG、FD、FA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，得出A、B、E各点的坐标，从而得到向量

AB

、

BE

的坐标．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出平面ABE的一个法向量为

n

=（（1，

3

，-1），而平面ADE的一个法向量

m

=（1，0，0），算出

m

、

n

夹角的余弦，再结合图形特征即可得到二面角B-AE-D的大小．

解答：解：（I）图1中，∵

CD

=

1

3

CA

，

BE

=

1

3

BA

，
∴DE∥BC，且DE=

2

3

BC=4．得△ADE是边长等于4的等边三角形，
∵G是BC的中点，得AG是等边△ABC的中线
∴AG⊥BC，结合DE∥BC，得AG⊥DE
图2中，∵AF⊥DE，FG⊥DE，AF、FG是平面AFG内的相交直线
∴DE⊥平面AFG
∵DE∥BC，
∴BC丄平面AFG
（II）分别以FG、FD、FA所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
可得A（0，0，2

3

），B（

3

，-3，0），E（0，-2，0）
∴

AB

=（

3

，-3，-2

3

），

BE

=（-

3

，1，0）
设平面ABE的一个法向量为

n

=（x，y，z）
可得

n • AB = 3 x-3y-2 3 z=0 n • BE =- 3 x+y=0

，取x=1，得y=

3

，z=-1
∴平面ABE的一个法向量为

n

=（1，

3

，-1）
又∵

m

=（1，0，0）是平面ADE的一个法向量
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

5

5

结合图形，可得二面角B-AE-D是一个钝二面角
∴二面角B-AE-D的大小是π-arcsos

5

5

点评：本题以等边三角形翻折的问题为例，求证线面垂直并求二面角的大小，着重考查了线面垂直的判定、面面垂直的性质和利用空间向量计算二面角的大小等知识，属于中档题．