Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（-4，0），D（0，4），设△AOB的外接圆为⊙E．
（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；
（2）问是否存在这样的⊙E，⊙E上到直线CD的距离为3

2

的点P有且只有三个；若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出圆心坐标和半径，由圆心到切线的距离等于半径，解出实数a的值．
（2）由题意得，圆心E到直线CD距离为2

2

，由点到直线的距离公式列出方程，解得a值．

解答：解：（1）由已知，直线CD方程为y=x+4，圆心E(

a

2

，

a

2

)，半径r=

2

2

a．
由⊙E与直线CD相切，得

| a 2 - a 2 +4|

2

=

2

2

a，解得  a=4．
（2）要使⊙E上到直线CD的距离为3

2

的点P有且只有三个，只须与CD平行且与CD距离为3

2

的两条直线中的一条与⊙E相切，另一条与⊙E相交；∵圆心E到直线CD距离为2

2

，
∴圆E的半径为2

2

+3

2

=5

2

，即r=

2

2

a=5

2

，解得 a=10．
∴存在满足条件的⊙E，其标准方程为：（x-5）²+（y-5）² =50．

点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．