Question

设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足a²+c²-b²=

3

ac
（1）求角B的大小；
（2）若2bcosA=

3

(ccosA+acosC)，BC边上的中线AM的长为

7

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosB，将已知等式变形后代入求出cosB的值，由B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）利用正弦定理化简已知等式，求出cosA的值，由A为三角形内角，利用利用特殊角的三角函数值求出A的度数，确定出C的度数，设|AC|=m，则|BC|=m，|AB|=

3

m，|CM|=

1

2

m，利用余弦定理列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，确定出|CA|与|CB|，即可确定出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵a²+c²-b²=

3

ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3 ac

2ac

=

3

2

，
∵B为三角形内角，
∴B=

π

6

；
（2）由正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
将2bccosA=

3

（ccosA+acosC）化简得：2sinBcosA=

3

（sinCcosA+sinAcosC），即2sinBcosA=

3

sinB，
∴cosA=

3

2

，
∴A=

π

6

，C=

2π

3

，
设|AC|=m，则|BC|=m，|AB|=

3

m，|CM|=

1

2

m，
由余弦定理可知：|AM|²=|CM|²+|AC|²-2|AM||AC|cos

2π

3

，即7=

1

4

m²+m²+

1

2

m，
解得：m=2，
则S_△ABC=

1

2

|CA|•|CB|•sin

2π

3

=

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．