题目内容
14．
2013年8月28日-30日，第六届豫商大会在“三商之源、华商之都”的商丘市举行，为了搞好接待工作，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如所示的茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”中和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．
分析 （Ⅰ）先根据根据茎叶图，求出“高个子”，“非高个子”的人数，用分层抽样的方法，求出每个人被抽中的概率，从而求出选中的“高个子”，“非高个子”人数，进而求出相对应的概率；
（Ⅱ）由题意得：X=0，1，2，3，求出相对应的概率，从而写出X的分布列，X的数学期望．
解答 解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是$\frac{5}{30}$=$\frac{1}{6}$，
∴选中的“高个子”有12×$\frac{1}{6}$=2人，“非高个子”有18×$\frac{1}{6}$=3人，
用事件A表示“至少有一名高个子被选中”，
则它的对立事件$\overline{A}$表示“没有一名高个子被选中”，
则P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=1-$\frac{3}{10}$=$\frac{7}{10}$，
∴至少有一人是“高个子”的概率是$\frac{7}{10}$；
（Ⅱ）由题意得：X=0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{14}{55}$，P（ξ=1）=$\frac{{{C}_{4}^{1}C}_{8}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{28}{55}$，
P（ξ=2）=$\frac{{{C}_{4}^{2}C}_{8}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{12}{55}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{55}$，
∴ξ的分布列如下：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{14}{55}$ | $\frac{28}{55}$ | $\frac{12}{55}$ | $\frac{1}{55}$ |
点评 本题考察了离散型随机变量的期望和方差，本题是一道中档题．
如图，AB是圆O的直径，C、F为圆O上点，CA是∠BAF的角平分线，CD与圆O切于点C且交AF的延长线于点D，CM⊥AB，垂足为点M，求证：