Question

已知圆C的方程为，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，

直线AB恰好经过椭圆T：（a＞b＞0）的右顶点和上顶点．

（1）求椭圆T的方程；

（2）已知直线l：y＝kx＋（k＞0）与椭圆T相交于P，Q两点，O为坐标原点，

求△OPQ面积的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）1.

【解析】

试题分析：（1）思路一：由题设可知，过点M（2，4）作圆C的两条切线中有一条斜率不存在，方程为，另一条斜率存在，可首先设出这条切线的斜率，利用圆的切线的性质列方程确定斜率值从而得到切线方程，最后利用直线与圆的方程组成方程组，求出切点的坐标，即椭圆的顶点，进而求得椭圆的方程.

思路二：利用结论：设为圆外一定点，是圆的两条切线，其中为切点，则直线的方程为：直接求直线的方程，以下同.

（2）利用直线与圆的方程联立所得方程组，结合韦达定理，求出用表示的弦长，利用点到直线的距离公式求出△OPQ的底边上的高，从而将△OPQ面积表示成的函数，最后用基本不等式求出其最大值.

试题解析：（1）由题意：一条切线方程为：，设另一条切线方程为：

则：，解得：，此时切线方程为： 2分

切线方程与圆方程联立得：，则直线的方程为

令，解得，∴；令,得,∴

故所求椭圆方程为 6分

（2）联立整理得，

令，，则，，

，即：

原点到直线的距离为， 8分

，

∴[

当且仅当时取等号，则面积的最大值为1． 12分

 

考点：1、直线与圆的位置关系；2、直线与椭圆的位置关系；3、基本不等式.