题目内容

如图①，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA=BC=2，∠ABC=90°，异面直线A1B与AC成60°的角，点O、E分别是棱AC和BB1的中点，点F是棱B1C1上的动点．
（Ⅰ）求异面直线A1E与OF所角的大小；
（Ⅱ）求二面角B1-A1C-C1的大小；
（Ⅲ）设O1为A1C1的中点，如图②，将此直三棱柱ABC-A1B1C1绕直线O1O旋转一周，线段BC1旋转后所得图形所得必定是
 
．（只需填上你认为正确的选项，不必证明）
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分析：（I）以B为坐标原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，设出棱锥的高，根据异面直线A1B与AC成60°的角，写出两条异面直线的夹角，求出高，再求出异面直线所成的角．
（II）根据建立的坐标系，看出平面的一个法向量，设出另一个平面的法向量，根据法向量与平面上的向量数量积等于0，求出一个法向量，根据两个向量的夹角做出二面角的值．
（III）将此直三棱柱补形为正方体ABCD-A1B1C1D1，如图2．在旋转过程中，线段BC1任意一点到轴OO1的距离保持不变，设BC1的中点为M，OO1的中点为O2，则O2M是异面直线OO1与BC1的公垂线段，建立空间直角坐标系，不失一般性，设点N在线段MC1上，并设正方体边长为2，MN=t，PN=d．做出结果
解答：解：如图1，以B为坐标原点，以BA，BC，BB1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），0（1，1，0）
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（Ⅰ）设棱锥的高为h，则A1（2，0，h），C（0，2，0），
CA
=(2，-2，0)．
∴cos＜?
BA1
，
CA
＞=
BA1
•
CA
|
BA1
|•|
CA
|
，
即cos60°=
4
2
2
•
4+h2
，解得h=2．
∴E（0，0，1），A1（202），
A1E
=(-2，0，-1)．
∵F为棱B1C1上的动点，故可设f（0，y，2）．
∴
OF
=(-1，y-1，2)．
又
A1E
•
OF
=(-2，0，-1)•(-1，y-1，2)=0
∴
A1E
⊥
OF
，即异面直线A1E与OF成角为90°
（Ⅱ）易知平面A1CC1的一个法向量为
BO
=（1，1，0），设平面A1B1C的一个法向量为
n
=（x，y，1），则
n
=(x，y，1)
n
•
A1C
=（x，y，1）•（-2，2，-2）=-2x+2y-2=0，…①
n
•
A1C
=（x，y，1）•（-2，0，0）=-2x=0．…②
由①、②，得
n
=(0，1，1．)．
∴cos＜
n
，
BO
＞=
n
•
BO
|
n
|•|
BO
|
=
1
2
•
2
=
1
2
，
∴＜
n
，
BO
＞=60°．
即二面角B1-A1C-C1的大小为60°．
（Ⅲ）将此直三棱柱补形为正方体ABCD-A1B1C1D1，如图2．在旋转过程中，线段BC1任意一点到轴OO1的距离保持不变，
设BC1的中点为M，OO1的中点为O2，则O2M是异面直线OO1与BC1的公垂线段．
设N是线段BC1上任意一点，N在轴OO1上的射影为P．
以正方体的中心O2，主点建立空间直角坐标系，不失一般性，设点N在线段MC1上，并设正方体边长为2，MN=t，PN=d．
∵＜
OO1
，
BC1
＞=45°，
∴N(-
2
2
t，1，
2
2
t)，P(O，O，
2
2
t)．
在Rt△OPN中，由O2P2+PN2=O2N2，得
d2+
1
2
t2=
1
2
t2+1+
1
2
t2，∴d2-
t2
2
=1．
即d与t之间满足双曲线关系，故选D．
点评：本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角和距离的问题，本题解题的关键是建立合适的坐标系，把逻辑性很强的理论推导转化成数字的运算，降低了题目的难度．
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的长，若不存在，请说明理由．
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A.                 B.                C.                  D.

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