Question

【题目】如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据长方体性质可知平面，从而，由题意，即可由线面垂直的判定定理证明平面；

（2）由题意，设，建立空间直角坐标系，即可写出各个点的坐标，求得平面和平面的法向量，即可由两个平面的法向量求得二面角夹角的余弦值，再由同角三角函数关系式即可求得二面角的正弦值.

（1）由已知得，平面，平面，

故.

又，且，

所以平面.

（2）由（1）知.由题设知，所以，

故，. 设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系：

则，，，，，，.

设平面的法向量为，则即.

所以可取.

设平面的法向量为，则即

所以可取.

于是.

由同角三角函数关系式可得二面角的正弦值为.