Question

已知命题p：x₁和x₂是方程x²－mx－2＝0的两个实根，不等式a²－5a－3≥|x₁－x₂|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；

命题q：不等式ax²＋2x－1>0有解，

若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围.

Answer 1

∵x₁，x₂是方程x²－mx－2＝0的两个实根，

∴x₁＋x₂＝m，x₁·x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝，

∴当m∈[－1,1]时，|x₁－x₂|_max＝3，

由不等式a²－5a－3≥|x₁－x₂|对任意实数m∈[－1,1]恒成立，

可得：a²－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1，

∴命题p为真命题时a≥6或a≤－1，

若不等式ax²＋2x－1>0有解，则

①当a>0时，显然有解，

②当a＝0时，ax²＋2x－1>0有解，

③当a<0时，∵ax²＋2x－1>0有解，

∴Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，

所以不等式ax²＋2x－1>0有解时a>－1.

又∵命题q是假命题，∴a≤－1，

故命题p是真命题且命题q是假命题时，a的取值范围为a≤－1.