Question

已知命题P：方程x²+（a²-1）x+a-2=0的两根为x₁和x₂，且x₁＜1＜x₂＜2；命题q：方程|x|+|x-

1

2

|＞a恒成立；若P或q为真，P且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

∵方程x²+（a²-1）x+a-2=0的两根为x₁和x₂，
若x₁＜1＜x₂＜2成立
令f（x）=x²+（a²-1）x+a-2
则

f(1)＜0 f(2)＞0

即

a2+a-2＜0 2a2+a＞0

解得a∈（-2，-

1

2

）∪（0，1）
令g（x）=|x|+|x-

1

2

|
则g（x）≥

1

2

恒成立
若方程|x|+|x-

1

2

|＞a恒成立
则a∈（-∞，

1

2

）
又∵P或q为真，P且q为假，
故P与q中必然一真一假
当p真q假时，a∈[

1

2

，1）
当p假q真时，a∈（-∞，-2]∪[-

1

2

，0]
综上实数a的取值范围为：（-∞，-2]∪[-

1

2

，0]∪[

1

2

，1）