Question

如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均2，且侧棱AA₁⊥面
A₁B₁C₁，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形．
（1）求该三棱柱的侧视图的面积；
（2）若E为边BC的中点，求三棱锥A₁-B₁BE的体积．

Answer 1

分析：（1）根据俯视图为边长为2的等边三角形，求出三角形的高即为侧视图的宽，再根据正视图为边长为2的正方形，可知侧视图的高为2，计算可求侧视图的面积．
（2）根据三棱柱为直三棱柱，可证AE⊥平面BEB₁，求得三棱锥的高与底面面积，代入体积公式计算．

解答：解：（1）三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高后，组成直角三角形，
∵底边的一半为1，∴等边三角形的高为

3

，
由题意知左视图是一个高为2，宽为

3

的矩形，
∴三棱柱的侧视图的面积为2

3

．
（2）∵侧棱AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴三棱柱为直棱柱，
又E为BC的中点，∴AE⊥平面BEB₁，∴AE为三棱锥A₁-B₁BE的高，
AE=

3

，S△BB1E=

1

2

×1×2=1，
∴三棱锥A₁-B₁BE的体积V=

1

3

×1×

3

=

3

3

．

点评：考查由三视图求几何体的体积，考查了三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．