Question

【题目】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是　 　．

Answer 1

【答案】30+6

【解析】

试题分析：根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥A﹣BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且侧面ABC与底面ABC互相垂直，由此结合题中的数据结合和正余弦定理，不难算出该三棱锥的表面积．

解：根据题意，还原出如图的三棱锥A﹣BCD

底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4

侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3

侧面△ACD中，AC==5

∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC

∴AE⊥平面BCD，结合CD平面BCD，得AE⊥CD

∵BC⊥CD，AE∩BC=E

∴CD⊥平面ABC，结合AC平面ABC，得CD⊥AC

因此，△ADB中，AB==2，BD==，AD==，

∴cos∠ADB==，得sin∠ADB==

由三角形面积公式，得S△ADB=×××=6

又∵S△ACB=×5×4=10，S△ADC=S△CBD=×4×5=10

∴三棱锥的表面积是S表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6

故答案为：30+6