Question

【题目】(2015·山东）设函数=. 已知曲线= 在点处的切线与直线平行.
（1）求的值；
（2）是否存在自然数，使得方程=在内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；
（3）设函数=(表示，中的较小值），求的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

时，方程,=在内存在唯一的根.

（3）

【解析】（1）由题意知，曲线在点处的切线斜率为2，所以，
又，所以
(2)k=1时，方程=在内存在唯一的根.
设=-=
当(0,1]时,
又,
所以存在，使
因为。所以当时，
所以当时，单调递增,
所以k=1时，方程=在内存在唯一的根.
（3）由（2）可知，方程=在内存在唯一的根,且时,
时,,所以
当时,若
当时,由,可知,故
当时,由,可得时,单调递增,时
单调递减
可知,且
综上可得的最大值为
【考点精析】掌握集合的含义是解答本题的根本，需要知道把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．