Question

在锐角△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量

m

=（

1

2

，cosA），

n

=（sinA，-

3

2

），且

m

⊥

n

（1）求角A的大小；
（2）若a=7，b=8，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，根据cosA不为0，求出tanA的值，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sinC=sin（A+B），将各自的值代入计算求出sinC的值，再由a与b的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵向量

m

=（

1

2

，cosA），

n

=（sinA，-

3

2

），且

m

⊥

n

，
∴

1

2

sinA-

3

2

cosA=0，
∵0＜A＜90°，∴cosA≠0，
∴tanA=

3

，
则A=60°；
（2）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，a=7，b=8，A=60°，
∴sinB=

bsinA

a

=

8× 3 2

7

=

4 3

7

，
∵△ABC为锐角三角形，∴cosB=

1-sin2B

=

1

7

，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

2

×

1

7

+

1

2

×

4 3

7

=

5 3

14

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=10

3

．

点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．