Question

 已知数列中，，且．

(1) 求数列的通项公式；

(2) 令，数列的前项和为，试比较与的大小；

(3) 令，数列的前项和为．求证：对任意，

都有 ．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：(1)由题知， ，

由累加法，当时，

代入，得时，，

又，故．                        ．．．．．．．．．．4分

（2）时，．

方法1：当时，；当时，；

当时，．

猜想当时，．        6分            下面用数学归纳法证明：

①当时，由上可知成立；

②假设时，上式成立，即.

当时，左边

，所以当时成立．

由①②可知当时,．        

综上所述：当时,；当时, ；

当时,．                       ．．．．．．8分

方法2：，记函数

所以                     ．．．．．6分

则

所以． 由于，此时；

，此时；

，此时；

由于，，故时，，此时．

综上所述：当时，；当时,．    ．．．．．．8分

（3）

当时，

所以当时

＋．

且

故对，得证．       ………………………………………………12分