Question

如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：.

       （Ⅰ）求椭圆的方程；

       （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点，使，证明：

       为定值，并求此定值.

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆方程为.

              因焦点为，故半焦距.又右

              准线的方程为，从而由已知

              ，

              因此.

              故所求椭圆方程为.

       （Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设，不失一般性，假设

              ，且.

              又设在上的射影为，因椭圆的离心率，

              从而有

.

              解得.      因此

              ，

而，

              故为定值.