Question

20．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2．求证：{a_n+1-2a_n}为等比数列．

Answer 1

分析 S_n+1=4a_n+2，a₁=1，当n=1时，1+a₂=4×1+2，解得a₂；当n≥2时，a_n+1=S_n+1-S_n，变形为a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），即可证明；

解答 证明：∵S_n+1=4a_n+2，a₁=1，
∴当n=1时，1+a₂=4×1+2，解得a₂=5；
当n≥2时，a_n+1=S_n+1-S_n=4a_n+2-（4a_n-1+2），
化为a_n+1=4a_n-4a_n-1，
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∴数列：{a_n+1-2a_n}是等比数列，首项为a₂-2a₁=3，公比为2．

点评 本题主要考查等比数列的判断和证明，根据数列的递推关系利用构造法是解决本题的关键．