Question

如图，设点A（x，y）为抛物线上位于第一象限内的一动点，点B（0，y₁）在y轴正半轴上，且|OA|=|OB|，直线AB交x轴于点P（x₂，0）．
（Ⅰ）试用x表示y₁；
（Ⅱ）试用x表示x₂；
（Ⅲ）当点A沿抛物线无限趋近于原点O时，求点P的极限坐标．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根据两点间的距离公式得到|OA|与|OB|，根据A在抛物线上消去y即可用x表示y₁．
（Ⅱ）先表示出直线AB的斜率，从而可得到直线AB的方程，然后令y=0得到所求的用x表示x₂．
（Ⅲ）对（Ⅱ）中x₂的关系式求极限，即可得到P的极限坐标．
解答：解：（Ⅰ）=，
∴．
（Ⅱ），
=，
=，
直线AB的方程为
，
令y=0，得
．
（Ⅲ），
故当点A沿抛物线无限趋近于原点O时，求点P的极限坐标是（1，0）．
点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题，直线与圆锥曲线的综合问题每年必考，而且经常是以压轴题的形式出现，分值比较高，一定要准备充分．