Question

如图,在平面直角坐标系中,N为圆A:(x+1)²+y²=16上的一动点,点B(1,0),点M是BN中点,点P在线段AN上,且·=0.

(1)求动点P的轨迹方程;

(2)试判断以PB为直径的圆与圆x²+y²=4的位置关系,并说明理由.

Answer 1

解:(1)由点M是BN中点,又·=0,

可知PM垂直平分BN,所以|PN|=|PB|.

又|PA|+|PN|=|AN|,所以|PA|+|PB|=4.

由椭圆定义知,点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.

设椭圆方程为+=1,

由2a=4,2c=2,可得a²=4,b²=3.

可知动点P的轨迹方程为=1.

(2)设点P(x₀,y₀),PB的中点为Q,则Q(,),

|PB|====2x₀,

即以PB为直径的圆的圆心为Q(,),半径为r₁=1-x₀.

又圆x²+y²=4的圆心为O(0,0),半径r₂=2,又|OQ|=

===1+x₀,

故|OQ|=r₂-r₁,即两圆相切.