题目内容
已知函数f(x)=
x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)
（1）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（2）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．
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（1）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（2）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．
（1）∵（1，f（1））在x+y-3=0上，∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=
-a+a2-1+b
又f'（1）=-1，∴1-2a+a2-1=-1
∴a2-2a+1=0，解得a=1，b=
∴f(x)=
x2-x2+
，f′(x)=x2-2x
由f'（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点．
∵f(0)=
，f(2)=
，f(-2)=-4，f(4)=8
∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8．
（2）因为函数f（x）在区间（-1，1）不单调，所以函数f'（x）在（-1，1）上存在零点．
而f'（x）=0的两根为a-1，a+1，区间长为2，
∴在区间（-1，1）上不可能有2个零点．
所以f'（-1）f'（1）＜0，即a2（a+2）（a-2）＜0．
∵a2＞0，∴（a+2）（a-2）＜0，-2＜a＜2．
又∵a≠0，
∴a∈（-2，0）∪（0，2）．
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=
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又f'（1）=-1，∴1-2a+a2-1=-1
∴a2-2a+1=0，解得a=1，b=
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∴f(x)=
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由f'（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点．
∵f(0)=
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∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8．
（2）因为函数f（x）在区间（-1，1）不单调，所以函数f'（x）在（-1，1）上存在零点．
而f'（x）=0的两根为a-1，a+1，区间长为2，
∴在区间（-1，1）上不可能有2个零点．
所以f'（-1）f'（1）＜0，即a2（a+2）（a-2）＜0．
∵a2＞0，∴（a+2）（a-2）＜0，-2＜a＜2．
又∵a≠0，
∴a∈（-2，0）∪（0，2）．
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