Question

20．已知函数f（x）=（sinx+$\sqrt{3}$cox）²-2．
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数g（x）=-（1+λ）f²（x）-2f（x）+1在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上单调递减，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合范围x∈[0，$\frac{π}{2}$]，即可得解．
（2）由（1）可知：f（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上单调递增，令t=f（x），则g（t）=-（1+λ）t²-2t+1在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]单调递减，根据二次函数的图象和性质分类讨论，从而解出实数λ的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=（sinx+$\sqrt{3}$cox）²-2
=sin²x+3cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-2
=$\frac{1-cos2x}{2}$+3×$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2x-2
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
∴当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的单调递增区间为：[0，$\frac{π}{6}$]．
（2）由（1）可知：f（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上单调递增，令t=f（x），则g（t）=-（1+λ）t²-2t+1在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]单调递减，
①当λ=-1时，g（t）=-2t+1满足；
②当-（1+λ）＞0时，即λ＜-1时，$\frac{-1}{1+λ}≥\frac{π}{6}$，可解得λ≥$-\frac{6}{π}-1$，
所以可得：-1＞λ≥$-\frac{6}{π}-1$，
③当-（1+λ）＜0时，即λ＞-1时，$\frac{-1}{1+λ}$≤-$\frac{π}{3}$，解得λ≤-1+$\frac{3}{π}$，
所以可得：-1＜λ≤-1+$\frac{3}{π}$，
综上可得：$-\frac{6}{π}-1$≤λ≤-1+$\frac{3}{π}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了二次函数的图象和性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．