Question

一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为，则该梯形的周长为__________

Answer 1

试题分析：先设梯形的上底、下底和高，然后利用圆柱和圆锥的体积公式求出以这三边旋转得到的几何体的体积，联立得到的式子可解出上底、下底和高，结合勾股定理，另一腰也可求出，故梯形的周长可以得到。
解：设梯形的上底长为，下底长为，高为，
则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为，
因此，即.
同理有，
两式相除得，去分母化简得，
代入得.
注意到直角腰长等于高，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为. 将代入化简得. 结合可解得，因此，由勾股定理知另一条腰的长度为，因此梯形的周长为.
点评：找出组合图形的各部分数据，求体积和．