Question

如图是边长为1的正三角形ABC沿垂直于平面ABC的方向平移距离1所得的图形，M是底面BC边的中点．
（1）求二面角B₁-AM-B的大小；
（2）证明：直线A₁C∥平面MAB₁；
（3）求直线A₁C到平面MAB₁的距离．

Answer 1

分析：（1）先找出二面角B₁-AM-B的平面角．根据△ABC是正三角形，M是BC边的中点，可得AM⊥BC，利用BB₁⊥底面ABC，所以B₁M⊥AM，从而∠B₁MB为二面角B₁-AM-B的平面角，故可求．
（2）证明线面平行的关键是证明直线A₁C平行于平面MB₁A内的一条直线．设O是A₁B与B₁A的交点，证明A₁C∥OM即可；
（3）先证明平面MAB₁⊥平面CB₁，过点C作CE⊥B₁M于E，则CE⊥平面MAB₁，从而线段CE的长即直线A₁C到平面MAB₁的距离，由△CME∽△BMB₁，即可求出直线A₁C到平面MAB₁的距离，

解答：（1）解：依题意  
∵△ABC是正三角形，M是BC边的中点
∴AM⊥BC，
又BB₁⊥底面ABC，所以B₁M⊥AM
∴∠B₁MB为二面角B₁-AM-B的平面角
在Rt△B₁MB中，BB₁=1，BM=

1

2

∴tan∠B₁MB=

1

1 2

=2，
∴二面角B₁-AM-B的大小等于arctan2．
（2）证明：正三棱柱的侧面是正方形，设O是A₁B与B₁A的交点，则O是A₁B的中点，
连接OM，
∵M是底面BC边的中点，所以A₁C∥OM，
∵OM?平面MAB₁，A₁C?平面MB₁A
所以直线A₁C∥平面MB₁A
（3）解：∵AM⊥BC，AM⊥BB₁，BC∩BB₁=B
∴AM⊥平面CB₁，
∵AM?平面MA B₁
所以平面MAB₁⊥平面CB₁
过点C作CE⊥B₁M于E，则CE⊥平面MAB₁
∵直线A₁C∥平面MAB₁，
所以线段CE的长即直线A₁C到平面MAB₁的距离，
∵∠B₁BM=∠E，∠B₁MB=∠CME
∴△CME∽△BMB₁，
∴CE=

BB1•CM

B1M

=

1 2

5 2

=

5

5

∴直线A₁C到平面MAB₁的距离

5

5

点评：本题以三棱柱为载体，考查线面平行，考查面面角，考查线面距离，正确运用线面平行的判定定理，合理地转化是解题的关键．