题目内容

（04年上海卷）(16分)

如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)     证明：P-ABC为正四面体；

(2)     若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；(结果用反三角函数值表示)

(3)     设棱台DEF-ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直

平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造

出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

解析：【证明】(1) ∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等,

   ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.

   又∵截面DEF∥底面ABC,

   ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC是正四面体.

 【解】(2)取BC的中点M,连拉PM,DM.AM.

   ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,

   则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角.

   由(1)知,P-ABC的各棱长均为1,

   ∴PM=AM=,由D是PA的中点,得

  sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin.

(3)存在满足条件的直平行六面体.

  棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V.

  设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为α,

  则该六面体棱长和为6, 体积为sinα=V.

  ∵正四面体P-ABC的体积是,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim(8V)

故构造棱长均为,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求.

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记函数f(x)=的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B.

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（04年上海卷理）(18分)

设P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a1=2, a2=2, …, an=2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记Sn=a1+a2+…+an.

(1)      若C的方程为=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=255, 求点P3的坐标；

 (只需写出一个)

(2)若C的方程为(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求Sn的最小值；

. (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1, P2,…Pn存在的充要条件,并说明理由.

（04年上海卷文）(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分

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（04年上海卷文）(18分)

设P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a1=2, a2=2, …, an=2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记Sn=a1+a2+…+an.

(1)      若C的方程为－y2=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=162, 求点P3的坐标；

 (只需写出一个)

(2)      若C的方程为y2=2px(p≠0). 点P1(0,0), 对于给定的自然数n, 证明：

(x1+p)2, (x2+p)2, …,(xn+p)2成等差数列；

(3)      若C的方程为(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求Sn的最小值.

      

 

 

 

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