题目内容
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，AB=AA1=2
，点D是AB的中点，点E是BB1的中点．（1）求证：平面CDE⊥平面ABB1A1；
（2）求二面角D-CE-A1的大小．
【答案】分析：（1）利用线面垂直的判定定理，可以证明CD⊥平面ABB1A1，再利用面面垂直的判定定理，可得结论；
（2）求出S△A1CE、S△CED，利用比值，即可得出结论．
解答：（1）证明：∵AC=BC，点D是AB的中点，∴CD⊥AB
∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥CD
∵BB1∩AB=B，∴CD⊥平面ABB1A1，
∵CD?平面CDE，∴平面CDE⊥平面ABB1A1；
（2）解：由题意，在△CEA1中，CA1=2
，EA1=
，CE=
∴cos∠A1CE=
∴sin∠A1CE=
∴S△A1CE=
=
∵S△CED=
=
∴二面角D-CE-A1的余弦值为
=
∴二面角D-CE-A1的大小为
．
点评：本题考查线面垂直，考查面面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
（2）求出S△A1CE、S△CED，利用比值，即可得出结论．
解答：（1）证明：∵AC=BC，点D是AB的中点，∴CD⊥AB
∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥CD
∵BB1∩AB=B，∴CD⊥平面ABB1A1，
∵CD?平面CDE，∴平面CDE⊥平面ABB1A1；
（2）解：由题意，在△CEA1中，CA1=2
，EA1=
，CE=
∴cos∠A1CE=
∴sin∠A1CE=
∴S△A1CE=
=
∵S△CED=
=
∴二面角D-CE-A1的余弦值为
=
∴二面角D-CE-A1的大小为
．点评：本题考查线面垂直，考查面面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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