Question

9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinBcosA=-（2sinC+sinA）cosB．
（1）求角B的大小；
（2）求函数f（x）=2cos2x+cos（2x-B）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值及对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）根据和与差的公式和正弦定理可得角B的大小；
（2）根据B角化简f（x），x∈$[0，\frac{π}{2}]$上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即可求出f（x）的最小值和对应的x的值．

解答 解：（1）由已知sinBcosA=-（2sinC+sinA）cosB，
得：sinBcosA=-2sinCcosB-sinAcosB，
∴sinBcosA+sinAcosB=-2sinCcosB
即sinC=-2sinCcosB，
∴$cosB=-\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π
∴$B=\frac{2π}{3}$．
（2）由（1）得$B=\frac{2π}{3}$．
∴$f（x）=2cos2x+cos2xcos\frac{2π}{3}+sin2xsin\frac{2π}{3}$=$\frac{3}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$=$\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）$
当$x∈[0，\frac{π}{2}]$上时，
可得：$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
当$2x+\frac{π}{3}=\frac{4π}{3}$时，即$x=\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值，即$f（\frac{π}{2}）=\sqrt{3}×（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）=-\frac{3}{2}$．
∴函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值为$-\frac{3}{2}$，此时$x=\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，和与差的公式和正弦定理的计算，第二问利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．