Question

已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e^x-1-f（0）x+

1

2

x2
（1）求f′（1），f（0）以及f（x）的单调区间；
（2）令h（x）=f（x）-x³-

1

2

ax2-e^x，若对h（x）在x∈（1，3）单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数进行求导，再使导函数的自变量为1，即得f′（1），f（0）然后令导函数大于0求出x的范围，即可得到答案．
（2）先求函数h（x）的导函数，又由函数f（x）在区间（1，3）上是单调递增，则函数的导函数≥0恒成立，列出不等式，求出解集即可到得到a的取值范围．

解答：解：由于f（x）=f′（1）e^x-1-f（0）x+

1

2

x2，则f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，
令x=1得，f（0）=1，则f（x）=f′（1）e^x-1-x+

1

2

x2，
∴f（0）=f′（1）e^-1 则f′（1）=e，
得到f（x）=e^x-x+

1

2

x2，则g（x）=f′（x）=e^x-1+x，
g′（x）=e^x+1＞0，所以y=g（x）在x∈R上单调递增，
则f′（x）＞0=f′（0）?x＞0，f′（x）＜0=f′（0）?x＜0，
所以f（x）=e^x-x+

1

2

x2的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）．
（2）由（1）知，h（x）=f（x）-x³-

1

2

ax2-e^x=-x³+

1

2

(1-a)x2-x，
∴h’（x）=-3x²+（1-a）x-1≥0对x∈（1，3）恒成立，
（1-a）x≥3x²+1，∵x∈（1，3），∴1-a≥

3x2+1

x

=3x+

1

x

令φ（x）=3x+

1

x

，φ′(x)=3-

1

x2

＞0，
∴1-a≥

28

3

，
∴a≤-

25

3

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．掌握不等式恒成立时所取的条件．