Question

已知函数，a_n+1=f（a_n），对于任意的n∈N^*，都有a_n+1＜a_n．
（Ⅰ）求a₁的取值范围；
（Ⅱ）若a₁=，证明a_n＜1+（n∈N₊，n≥2）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下证明-n＜+1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据函数f（x）的表达式，结合a_n+1=f（a_n），解不等式a_n+1-a_n＜0，再结合a_n是正数，可得对任意n∈N₊，
都有a₁＞1．
（II）先用导数进行研究，可得函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．再利用数学归纳的方法，可以证明
出a_n＜1+（n∈N₊，n≥2）．
（III）由a_n+1=f（a_n）=，解出，再变形得到，
结合0＜a_n+1＜a_n得到，最后利用g（x）=在（1，+∞）是增函数，通过放缩得到，再以此为依据，进行累加可得原不等式成立．
解答：解：（Ⅰ）∵
∴＜0
∴
∵a_n是正数，
∴a_n＞1对任意n∈N₊恒成立，因此a₁＞1．
（II）∵
∴当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数
下面用数学归纳法，证明a_n＜1+（n∈N₊，n≥2）．
①当n=2时，由a₁=，得
②设当n=k时，a_k＜1+成立
则当n=k+1时，a_k+1=f（a_n）＜f（1+）=（1++）
=（1++1-）＜（2+）=1+，不等式也成立
综合①②可得，对任意的n∈N₊，n≥2），均有a_n＜1+成立．
（III）⇒
⇒⇒
设g（x）=，则g（x）在（1，+∞）是增函数
∴
又∵
∴
=                                           
即对任意的n∈N₊，n≥2，均有-n＜+1成立．
点评：本题综合考查了函数的单调性、函数与方程、数列的递推关系、等比数列的求和公式和运用放缩法证明不等式等知识点，属于难题．