Question

已知数列和满足：，，，其中为实数，为正整数。
（Ⅰ）证明：对任意的实数，数列不是等比数列；
（Ⅱ）证明：当时，数列是等比数列；
（Ⅲ）设为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即
，矛盾。
所以不是等比数列。
（Ⅱ）证明：
。
又。由上式知，
故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）得，于是
，
当时，，从而。上式仍成立。
要使对任意正整数，都有。
即。
令，则
当为正奇数时，：当为正偶数时，，
的最大值为。
于是可得。
综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有；
的取值范围为。

略