Question

如图，、是相互垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段. 点A、B在上，C在上，AM = MB = MN.

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）若，求NB与平面ABC所成角的余弦值.

 

Answer 1

解法一：

       （Ⅰ）由已知l₂⊥MN，l₂⊥l₁，MNl₁ = M，

可得l₂⊥平面ABN.

由已知MN⊥l₁，AM = MB = MN，

可知AN = NB 且AN⊥NB又AN为

AC在平面ABN内的射影，

    ∴ AC⊥NB

       （Ⅱ）∵ Rt △CAN = Rt △CNB，

    ∴ AC = BC，又已知∠ACB = 60°，

因此△ABC为正三角形。

    ∵ Rt △ANB = Rt △CNB。

    ∴ NC = NA = NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角。

       在Rt △NHB中，

       解法二：

       如图，建立空间直角坐标系M－xyz，

       令 MN = 1，

       则有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）。

       （Ⅰ）∵MN是l₁、l₂的公垂线，l₂⊥l₁，

    ∴l₂⊥ 平面ABN，

    ∴l₂平行于z轴，

       故可设C（0，1，m）

    于是

∴AC⊥NB.

       （Ⅱ）

   又已知∠ABC = 60°，∴△ABC为正三角形，AC = BC = AB = 2.

    在Rt △CNB中，NB =，可得NC =，故C

    连结MC，作NH⊥MC于H，设H（0，λ，）（λ> 0）.

             

   

   

    ∴HN ⊥平面ABC，∠NBH为NB与平面ABC所成的角.

    又