Question

如图，过双曲线上左支一点A作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B，若△ABF₂是等腰三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  5+2 2

• B、

  5-2 2

• C、

  4+2 2

• D、

  4-2 2

Answer 1

分析：设AF₂=m，AF₁=x，根据双曲线的基本性质及△ABF₂是等腰三角形，用m分别表示出x，a，c，进而求得离心率

c

a

．

解答：解：设AF₂=m，AF₁=x
又AB=AF₂，则BF₁=m-x=2a，BF₂=

2

m．
BF₂-BF₁=2a，即

2

m-2a=2a，故a=

2

4

m，
又 m-x=2a，解得 x=

2- 2

2

m，
在△AF₁F₂中，由勾股定理知，2c=

m2+x2

=

10-4 2

2

m
所以双曲线的离心率e=

c

a

=

10-4 2 4 m

2 4 m

=

5-2 2

故选B．

点评：本题考查了双曲线的基本性质及其灵活运用，属于中档题型．