Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若acosB-bcosA=

3

5

c，则tan（A-B）的最大值为

3

4

．

Answer 1

分析：利用正弦定理，将已知等式化简整理得sinAcosB=4sinBcosA，两边同除以cosAcosB，得到tanA=4tanB．利用两角差的正切公式，得tan（A-B）=

3tanB

1+4tan2B

=

3

1 tanB +4tanB

，最后利用基本不等式求最值，可得当且仅当tanB=

1

2

时，tan（A-B）的最大值为

3

4

．

解答：解：∵acosB-bcosA=

3

5

c，
∴结合正弦定理，得sinAcosB-sinBcosA=

3

5

sinC，
∵C=π-（A+B），得sinC=sin（A+B）
∴sinAcosB-sinBcosA=

3

5

（sinAcosB+cosAsinB）
整理，得sinAcosB=4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA=4tanB
由此可得tan（A-B）=

tanA-tanB

1+tanAtanB

=

3tanB

1+4tan2B

=

3

1 tanB +4tanB

∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号
∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0
∵

1

tanB

+4tanB≥2

1 tanB •4tanB

=4
∴tan（A-B）=

3

1 tanB +4tanB

≤

3

4

，当且仅当

1

tanB

=4tanB，即tanB=

1

2

时，tan（A-B）的最大值为

3

4

故答案为：

3

4

点评：本题已知三角形边角的一个关系式，求tan（A-B）的最大值，着重考查了正弦定理、两角差的正切公式和基本不等式求最值等知识，属于中档题．