题目内容
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
，M是棱CC1的中点，（1）求证：A1B⊥AM；
（2）求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值．
【答案】分析：（1）由题意利用几何体的垂直关系建立直角坐标系，求对应向量的数量积为零，即得出垂直；
（2）在（1）的坐标系中，求出面AA1B1B的法向量，再利用对应向量的数量积求余弦值的绝对值，即为所求．
解答：
解：（1）如图，以B为原点，BA、BB1所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A1（0，2，
），A（0，2，0），
，
∴
，
，
∴
•
=0+3-3=0，
即
⊥
，∴
⊥
；
（2）∵x轴⊥面AA1B1B，∴面AA1B1B的法向量取n=（1，0，0），
设直线AM与平面AA1B1B所成角为θ，
∴
．，
∴直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值为
．
点评：本题考查了线线垂直和线面角，利用几何体垂直关系建立坐标系，再利用对应向量的数量积证明线线垂直和求解线面角的正弦值，这是立体几何中常用的一种方法．
（2）在（1）的坐标系中，求出面AA1B1B的法向量，再利用对应向量的数量积求余弦值的绝对值，即为所求．
解答：
解：（1）如图，以B为原点，BA、BB1所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A1（0，2，
），A（0，2，0），，∴
，，∴
•=0+3-3=0，即
⊥，∴⊥；（2）∵x轴⊥面AA1B1B，∴面AA1B1B的法向量取n=（1，0，0），
设直线AM与平面AA1B1B所成角为θ，
∴
．，∴直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值为
．点评：本题考查了线线垂直和线面角，利用几何体垂直关系建立坐标系，再利用对应向量的数量积证明线线垂直和求解线面角的正弦值，这是立体几何中常用的一种方法．
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