Question

已知椭圆，与直线x+y-1=0相交于A，B两点，且OA⊥OB，为坐标原点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若椭圆长轴长的取值范围是，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆的位置关系及参数的求值问题，
（Ⅰ）通过直线与椭圆的位置关系，利用代入法求解相应的代数式的值；
（Ⅱ）利用长轴长的取值范围，结合关系式与不等式的求解来确定离心率的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）将x+y-1=0代入椭圆方程整理得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0（﹡）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，
而．（3分）
又∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0∴∴a²+b²=2a²b²，∴①
经验证，此时方程（﹡）有解，∴（7分）
（Ⅱ）将代入①得
2-e²=2a²（1-e²），∴=（10分）
而，∴

而0＜e＜1，∴
故e的取值范围为（13分）．
点评：本题是直线与圆锥曲线的综合问题．近年高考中圆锥曲线问题的解答难度有逐渐变低的趋势．通过解析几何自身的特点，结合相应的数学知识，比如不等式、数列、函数、向量、导数等，考查各知识点之间的综合应用，也是考查学生综合能力的一大考点．在新课标的高考中，圆锥曲线的考查以基础知识为主，难度不会太大．